Ассоциации

[jenya444]

В школе на математике дочь изучает дифференциальное исчисление, по-простому говоря, calculus или ещё короче - инфи. Ряд теорем начинаются с того, что дана функция, непрерывная на закрытом интервале [a b] и дифференцируемая на открытом интервале (a b). Open interval, closed interval, - повторяла учительница, "I open at the close" думала дочь.

Comments

[jenya444.livejournal.com]

Как я понимаю, теорема Ролля доказывается исходя из теоремы Вейерштрасса, где функция обязана быть определена и непрерывна на закрытом интервале. Но в доказательстве теоремы Ролля дифференцируемость на границах не требуется, поскольку производная равна нулю в некой точке внутри интервала.

[utnapishti.livejournal.com]

Это я знаю, но это, на мой взгляд, не описывается словами "на хрена это различие при доказательстве". То есть вопрос не в том, почему таких условий достаточно, а в том, что мы потеряем в будущем, если их усилим (и, соответственно, сделаем теоремы слабее). Когда я в первый раз собирался преподавать анализ, то думал сначала, не доказать ли эти теоремы, потребовав и непрерывность, и дифференцируемость на [a, b] - чтобы всем было проще жить. Но потом, когда посмотрел, куда эта серия теорем ведёт, понял, что так делать не стоит. Сейчас уже не помню, что это было (поэтому и переспросил). То ли лишь то, что иначе мы лишаемся некоторых относительно естественных (вроде sqrt(1-x^2)) и относительно любопытных (вроде x sin(1/x)) примеров. То ли это вылазит в теореме Тейлора, которая представляется настолько важной, что её желательно показать в относительно "честной" форме.

[jenya444.livejournal.com]

Мне кажется в таких ньюансах (и в таких примерах) и сидит вся красота математики. Показать, какое условие необходимо, а какое требование слишком сильное. Когда я раскладываю функцию в ряд по Тейлору (скольких уже разложил), я совершенно не переживаю за дифференцируемость на краях, мне красота не нужна, мне надо посчитать.

[utnapishti.livejournal.com]

Да, я любил придумывать упражнения на тему "что изменится, если усилить/ослабить условие". Помнится, студенты очень "любили" вопросы, связанные с мелкими изменениями в определении предела.